Números primos

Los números primos son uno de los temas de estudio más básicos de la rama de las matemáticas llamada teoría de números. Los números primos son números que sólo pueden dividirse entre sí mismos y entre 1. Por ejemplo, 7 es un número primo porque me queda un resto o componente fraccionario si divido 7 entre algo que no sea él mismo o 1. 6 no es un número primo porque puedo dividir 6 entre 2 y obtener 3. Una de las razones por las que los números primos son importantes en la teoría de números es que son, en cierto sentido, los componentes básicos de los números naturales. El teorema fundamental de la aritmética (cuyo nombre indica su importancia básica) afirma que cualquier número puede factorizarse en una lista única de primos. 12 = 2 x 2 x 3, 50 = 5 x 5 x 2, 69 = 3 x 23. Estudiar los números es, pues, estudiar las propiedades de los números primos. A lo largo de milenios, los matemáticos han descubierto bastantes cosas sobre los números primos. Una de las pruebas más famosas de Euclides demuestra que existen infinitos números primos.

La idea básica de la prueba es que si sólo hubiera un número finito de números primos y tuviéramos una lista de todos ellos, podríamos multiplicarlos todos juntos y sumarles 1, creando un nuevo número que no fuera divisible por ninguno de los números primos de nuestra lista. Ese número, o bien sería un número primo que no está en nuestra lista, o bien tendría un divisor primo que no está en nuestra lista. En cualquier caso, se contradice la idea de que puede haber una lista finita de números primos y, por tanto, tiene que haber infinitos. En el siglo XIX, los matemáticos demostraron el Teorema de los Números Primos. Dado un número natural grande, el teorema da una estimación aproximada de cuántos números menores que el número dado son primos. A pesar de todo lo que sabemos sobre los números primos, hay muchas conjeturas aparentemente sencillas sobre los números primos que aún no se han demostrado ni refutado. Los números primos gemelos son pares de números primos que sólo tienen una cifra entre ellos: 5 y 7, 11 y 13, y 29 y 31. La conjetura de los primos gemelos es que hay infinitos pares de primos gemelos entre los infinitos números primos.

 

¿Por qué 27 es un número primo?

¿27 es un número primo? No. 27 es divisible por otros números (3 y 9), por lo que no es primo. Los factores de 27 son 1, 3, 9 y 27, por lo que no es primo. A diferencia de números como 11, que es un número primo porque solo tiene dos factores, 27 claramente no se ajusta a esta definición. En este contexto, podemos aprender más sobre la naturaleza de los números primos y cómo identificarlos. Es importante destacar que 27 es un número compuesto, lo que contrasta con características de números primos como 11 y 13, que son ejemplos clásicos de números primos.

¿Por qué 14 no es un número primo?

No, 14 no es un número primo. El número 14 es divisible por 1, 2, 7, 14. Para que un número sea considerado primo, debe tener exactamente dos factores. Como 14 tiene más de dos factores, es decir, 1, 2, 7, 14, no es un número primo.

¿Por qué el 11 no es un número primo?

El número 11 es un número primo porque no tiene factores propios. En otras palabras, los únicos factores de 11 son 1 y él mismo. Esto lo convierte en un ejemplo ideal para ilustrar la definición de números primos.

 

Prueba del teorema de los números primos

Un número primo es un número natural, mayor que 1, que sólo puede dividirse por sí mismo y por 1. Otra definición: Un número primo es un número entero positivo que tiene exactamente dos factores distintos: él mismo y 1.

Un número compuesto es un número natural divisible por más de 1 y por sí mismo. Otra definición: Un número compuesto es un número entero positivo que tiene más de dos factores diferentes. Los números 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, … son números compuestos porque están «compuestos» por otros números. Los números 0 y 1 no son números compuestos. (No son ni primos ni compuestos).

Historia de los números primos

Los números primos han atraído la atención humana desde los primeros tiempos de la civilización. Explicamos qué son, por qué su estudio apasiona por igual a matemáticos y aficionados, y de paso abrimos una ventana al mundo de los matemáticos.

Desde el principio de la historia de la humanidad, los números primos despertaron la curiosidad humana. ¿Qué son? ¿Por qué son tan difíciles las preguntas relacionadas con ellos? Una de las cosas más interesantes de los números primos es su distribución entre los números naturales. A pequeña escala, la aparición de números primos parece aleatoria, pero a gran escala parece existir un patrón, que aún no se comprende del todo. En este breve artículo, intentaremos seguir la historia de los números primos desde la antigüedad y aprovechar esta oportunidad para sumergirnos y comprender mejor el mundo de los matemáticos.

¿Se ha preguntado alguna vez por qué el día se divide exactamente en 24 h y el círculo en 360 grados? El número 24 tiene una propiedad interesante: se puede dividir en partes enteras iguales de un número relativamente grande de maneras. Por ejemplo, 24÷2 = 12, 24÷3 = 8, 24÷4 = 6, etc. (¡completa tú mismo el resto de opciones!). Esto significa que un día puede dividirse en dos partes iguales de 12 h cada una, el día y la noche. En una fábrica que trabaja ininterrumpidamente en turnos de 8 h, cada día se divide exactamente en tres turnos.

Ternos pitagóricos

Los ternos pitagóricos son conjuntos de tres números enteros positivos que satisfacen la famosa relación de Pitágoras: a² + b² = c², donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa. Un ejemplo clásico de un terno pitagórico es el conjunto (3, 4, 5), que cumple con esta propiedad y se utiliza frecuentemente en problemas de geometría.

Estos ternos se pueden generar mediante fórmulas específicas, como la que utiliza dos números enteros m y n, donde m > n > 0. La fórmula es: a = m² – n², b = 2mn y c = m² + n². Esta relación permite obtener infinitos ternos pitagóricos a partir de diferentes valores de m y n.

Los ternos pitagóricos no solo tienen aplicaciones en la geometría, sino que también aparecen en la teoría de números y en problemas de álgebra. Su estudio ha llevado a descubrimientos fascinantes sobre las propiedades de los números enteros y sus relaciones. Por ejemplo, el terno (5, 12, 13) también es un conjunto pitagórico que se utiliza en varios contextos prácticos y teóricos.

Es interesante notar que todos los ternos pitagóricos pueden clasificarse en tres categorías: primitivos, que no tienen factores comunes, y que generan otros ternos; y no primitivos, que son múltiplos de ternos primitivos. Esto resalta la diversidad y riqueza de los ternos pitagóricos en el campo de las matemáticas.

Finalmente, los ternos pitagóricos son un ejemplo claro de cómo las relaciones numéricas pueden dar lugar a patrones y estructuras matemáticas. Estos patrones son fundamentales para el desarrollo de conceptos más avanzados en matemáticas y son un área de interés tanto para aficionados como para matemáticos profesionales.

Cuántos números primos se conocen

Pero, a la larga, ¿son más raros los números raros que los primos? Claro, por la definición de infinito, hay infinitos números primos e infinitos números raros. Pero si calculas los números primos y los números raros durante un tiempo finito, ¿serían los números primos más comunes que los números raros?

Quería dejar esto como un comentario, pero esto es probablemente más fácil. Como usted probablemente sabe la OEIS por lo general tiene una abundancia de información para cosas como esta, https://oeis.org/A006037, sólo por la inspección se puede ver que los números raros son más densos a medida que crecen en tamaño. Lejos de ser una prueba, es útil para hacerse una idea de su negación.